Interactive Linear Algebra 中文译注

1. 概述

在开始正文内容之前，我们先问一个基本问题：什么是线性代数（Linear Algebra）？

本文的名称突出了一个重要主题：代数和几何之间的综合。对我们来说，从代数（为它们的解编写方程）和几何（绘制图片和可视化）的角度理解**线性方程组（System of Linear Equations）**非常重要。

代数（Algebra）一词是由公元 9 世纪的数学家 $Abu \ Ja’far \ Muhammad \ ibn \ Musa \ al-Khwarizmi$ 创造的，它来自阿拉伯语单词 $al-jebr$ ，意为“破碎部分的重聚”。

在最简单的层面上，求解线性方程组并不是很困难。你可能在高中时就学会了如何解决像这样的系统：

\left\{ \begin{align} x + 3y - z &= 4 \\ 2x - y + 3z &= 17 \\ y - 4z &= -3 \end{align} \right. \tag{1-1}

然而，在现实生活中，人们通常必须更加聪明：

工程师需要在非常多的变量中求解大量的方程。这里有一个小例子：
$\left\{ \begin{align} 3x_{1} + 4x_{2} + 10x_{3} + 19x_{4} - 2x_{5} - 3x_{6} &= 141 \\ 7x_{1} + 2x_{2} - 13x_{3} - 7x_{4} + 21x_{5} + 8x_{6} &= 2567 \\ -x_{1} + 9x_{2} + \frac{3}{2}x_{3} + x_{4} + 14x_{5} + 27x_{6} &= 26 \\ \frac{1}{2}x_{1} + 4x_{2} + 10x_{3} + 11x_{4} + 2x_{5} + x_{6} &= -15 \end{align} \right. \tag{1-2}$
通常情况下，我们只要知道解集的一些信息就足够了，而不必首先求解方程。例如，是否存在解？解集的几何形状是怎样的？如果我们把 $26$ 改成 $27$ 还会有解吗？
有时系数还包含参数，如特征值方程：
$\left\{ \begin{align} (7 - \lambda)x + y + 3z &= 0 \\ -3x + (2 - \lambda)y - 3z &= 0 \\ -3x - 2y + (-1 - \lambda)z &= 0 \end{align} \right. \tag{1-3}$
在数据建模（Data Modeling）中，方程组通常实际上没有解。在这种情况下，最好的近似解是什么？

因此，本文分为三个主要部分：

求解矩阵方程 $Ax = b$ （第 2~4 章节）
- 使用矩阵（Matrix）、行约简（Row Reduction）和逆（Inverse）求解线性方程组；
- 使用解集的几何形状和线性变换以几何方式分析线性方程组。
求解矩阵方程 $Ax = \lambda x$ （第 5~6 章节）
- 使用特征多项式（Characteristic Polynomial）求解特征值问题；
- 使用相似性（Similarity）、特征值（Eigenvalue）、对角化（Diagonalization）和复数（Complex Numbers）了解矩阵的几何形状。
近似求解矩阵方程 $Ax = b$ （第 7 章节）
- 使用最小二乘近似法（Least-Squares Approximation）为没有实际解的线性方程组找到最佳拟合解；
- 研究最近向量（Vector）和正交投影（Orthogonal Projection）的几何形状。